A Theory of Anti-Selfdual Lagrangians: Nonlinear case

The theory of anti-selfdual (ASD) Lagrangians developed in [4] allows a variational resolution for equations of the form Λu+Au+f ∈ −∂φ(u) where φ is a convex lower-semi-continuous function on a reflexive Banach space X , f ∈ X, A : D(A) ⊂ X → X is a skew-adjoint linear operator and where Λ : D(Λ) ⊂ X → X is a non-linear operator that satisfies suitable continuity properties. ASD Lagrangians on path spaces also yield variational resolutions for evolution equations of the form u̇(t) + Λu(t) + Au(t) + f ∈ −∂φ(u(t)) starting at u(0) = u0. Problems with boundary constraints fit also naturally in this framework which has many applications, in particular to Navier-Stokes type equations, to the basic differential systems of magnetohydrodynamics, but also to Hamiltonian systems. For details and applications, we refer to [6]. Résumé Une théorie des Lagrangiens anti-autoduaux: Cas nonlinéaire: On étend notre étude développée dans [4] au cas où on doit itérer un Lagrangien anti-autodual avec un opérateur nonlinéaire, mais possédant des propriétés de continuité convenables comme celles qui apparaissent dans les problèmes de la mécanique des fluides. Dans ce contexte aussi, ce type de Lagrangiens permet la résolution variationnelle de plusieurs équations différentielles stationaires et paraboliques nonlinéaires qui ne rentrent pas normalement dans le cadre de la théorie de Euler-Lagrange. Version francaise abrégée: On établit un principle variationnel pour des fonctionelles de la forme I(u) = L(u,Λu) + 〈Λu, u〉 où L est un Lagrangien anti-autodual (i.e., L(p, x) = L(−x,−p)) sur un espace de Banach réflexif X ×X et où Λ est un opérateur nonlinéaire de X dans X, avec des propriétes adéquates de continuité. Ainsi on peut résoudre plusieurs équations de la forme f ∈ Λu+Au+ ∂φ(u) avec φ convexe s.c.i. sur X , f ∈ X, A : X → X linéaire, et Λ étant un opérateur nonlinéaire, peuvent être résolues avec ce principe variationnel. On établit aussi des principes variationnels pour des fonctionelles de la forme I(u) = ∫ T 0 {L(t, u(t),Λu(t) + u̇(t)) + 〈u(t), u̇(t) + Λu(t)〉}dt+ 12‖u(0)− v0)‖ 2 sur des espaces de trajectoires. Les équations différentielles obtenues sont de la forme u̇(t) + Λu(t) + Au(t) + f ∈ −∂φ(u(t)) (u(0) = v0) et ne rentrent pas normalement dans le cadre de la théorie classique de Euler-Lagrange, puisque les opérateurs ne sont ni auto-adjoints, ni linéaires. Ces principes permettent la résolution variationnelle des équations de type Navier-Stokes, des systèmes Hamiltoniens, ainsi que des équations de type Cauchy-Riemann. Pour les détails, on refère à [5], [6] and [7]. Research partially supported by a grant from the Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada.